Question

【題目】已知二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的圖象經過坐標原點O，一次函數y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于點A、B．

（1）c＝　 　，點A的坐標為　 　．

（2）若二次函數y＝a2﹣（2a+1）x+c的圖象經過點A，求a的值．

（3）若二次函數y＝a2﹣（2a+1）x+c的圖象與△AOB只有一個公共點，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0，（4，0）；（2）a＝；（3）0＜a＜．

【解析】

（1）根據題意和題目中的函數解析式可以求得c的值和點A的坐標；

（2）根據（1）中點A得坐標和二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c的圖象經過點A，可以求得a的值；

（3）根據題意可以求得點B的坐標，然后根據二次函數與x軸的兩個交點坐標為（0，0）和（，0），二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c的圖象與△AOB只有一個公共點，可以求得a的取值范圍．

（1）∵二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的圖象經過坐標原點O，

∴當x＝0時，c＝0，

將y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4，即點A的坐標為（4，0），

故答案為：0，（4，0）；

（2）∵二次函數y＝ax2﹣（2a+1）x+c的圖象經過點A，點A的坐標為（4，0），

∴0＝a×42﹣（2a+1）×4，

解得，a＝；

（3）∵y＝ax2﹣（2a+1）x＝x[ax﹣（2a+1）]，

∴函數y＝ax2﹣（2a+1）x過點（0，0）和（，0），

∵點A（4，0），點O的坐標為（0，0），二次函數y＝ax2+（2a+1）x（a＞0）的圖象與△AOB只有一個公共點，

∴，a＞0，

解得，0＜a＜，

即a的取值范圍是0＜a＜．