Question

【題目】如圖，直線l1：y＝6x+6與x軸、y軸分別交于A、D兩點，直線l2：y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點．

（1）在直線l2上找一點E，使|AE﹣DE|的值最大，并求|AE﹣DE|的最大值．

（2）以AB為邊作矩形ABMN，點C在邊MN上，動點P從B出發，沿射線BM方向移動，作△PAB關于直線PA的對稱△PAB'．是否存在點P，使得△PMB'是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的點P的坐標？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）滿足條件的點P的坐標為（3，）或（3，）．

【解析】

（1）如圖1中，作點D關于直線y＝﹣x+3的對稱點D′，連接CD′，AD′，延長AD′交直線BC于E，點E即為所求．證明△DCD′是等腰直角三角形求出點D′的坐標即可解決問題．

（2）分兩種情形：如圖2﹣1中，當∠PB′M＝90°時，A，B′，M共線．如圖2﹣2中，當∠PMB′＝90°時，點B′落在MN上．分別利用勾股定理，相似三角形的性質求解即可．

解：（1）∵直線l1：y＝6x+6與x軸、y軸分別交于A、D兩點，直線l2：y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，

∴A（﹣1，0），D（0，6），B（3，0），C（0，3），

如圖1中，作點D關于直線y＝﹣x+3的對稱點D′，連接CD′，AD′，延長AD′交直線BC于E，點E即為所求．

∵OC＝3，OD＝6，

∴CD＝3，

∵∠DCE＝∠OCB＝∠ECD′＝45°，

∴∠DCD′＝90′，

∴D′（﹣3，3），

∴AD′＝，

∴|AE﹣DE|的最大值＝AD′＝．

（2）如圖2﹣1中，當∠PB′M＝90°時，A，B′，M共線．

在Rt△ABM中，∵∠ABM＝90°，AB＝4，BM＝3，

∴AB＝，

∵AB＝AB′＝4，

∴MB′＝5﹣4＝1，設PB＝PB′＝x，

在Rt△PMB′中，則有（3﹣x）2＝x2+12，

解得：x＝，

∴P（3，）．

如圖2﹣2中，當∠PMB′＝90°時，點B′落在MN上．

在Rt△ANB′中，∵∠N＝90°，AB′＝AB＝4，AN＝3，

∴NB′＝，

∵∠AB′P＝∠M＝∠N＝90°，

∴∠NAB′+∠AB′N＝90°，∠AB′N+∠PB′M＝90°，

∴∠NAB′＝∠MB′P，

∴△ANB′∽△B′MP，

∴，

∴，

∴PB′＝，

∴PB＝PB′＝，

∴P（3，），

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（3，）或（3，）．