Question

11．有些規律問題可以借助函數思想建立數學模型來探討解決，如此“問題情境”：用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放，則第1000個圖中共有多少枚棋子？

我們可以如此探討，具體步驟：
第一步：確定研究關系中的自變量與函數；
第二步：在直角坐標系中描點畫出函數圖象；
第三步：根據函數圖象猜想并求出函數關系式；
第四步：把另外的點代入驗證．
若成立，則得到表達規律的關系式，進而解決問題．
請依照以上步驟，解答“問題情境”中的問題．
（每一步要寫出簡要的過程說明）

Answer 1

分析 第一步：確定關系中的自變量為圖形的序號x，函數為第x個圖形中的點數y；
第二步：由題意得到關系滿足的點（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），畫出圖象即可；
第三步：猜想函數關系為二次函數，解方程組即可得到函數解析式y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入驗證猜想，左邊=14，右邊=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左邊=右邊，確定表達規律的關系式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，即可得到結論．

解答 解：第一步：確定關系中的自變量為圖形的序號x，函數為第x個圖形中的點數y；
第二步：由題意得關系滿足點（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），則可描點畫出大致圖象；
第三步：猜想函數關系為二次函數，
設函數解析式為：y=ax²+bx+c，
∵函數圖形過（1，2），（2，5）（3，9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a+b+c}\\{5=4a+2b+c}\\{9=9a+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴函數解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入驗證猜想，左邊=14，右邊=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左邊=右邊，
∴猜想正確，表達規律的關系式為y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
當x=100時，y=501500．

點評 本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出二次函數模型，并運用二次函數的知識解決實際問題．