Question

【題目】如圖，甲、乙兩人分別從A（1， ），B（6，0）兩點同時出發，點O為坐標原點，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．

（1）請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行；
（2）當t為何值時，△OMN∽△OBA；
（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN2 ， 直接寫出s與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A點的坐標為（1， ），

∴OA= =2；

∵OM=2﹣4t，ON=6﹣4t，

∴當 = 時，解得t=0，

∴甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，

∴MN與AB不可能平行．

（2）

解：∵甲到達O點的時間為t= ，乙到達O點的時間為t= = ，

∴甲先到達O點，

∴t= 或t= 時，O、M、N三點不能連接成三角形．

①t＜ 時，

如果△OMN∽△OBA，則有 = ，

解得t=2＞ ，

∴△OMN不可能和△OBA相似．

②當 ＜t＜ 時，

∠MON＞∠AOB，

顯然△OMN不可能和△OBA相似．

③當t＞ 時，

= ，

解得t=2＞ ，

∴當t=2時，△OMN∽△OBA．

（3）

解：①當t≤ 時，如圖1，過點M作MH⊥x軸于點H，

，

在Rt△MOH中，

∵∠AOB=60°，

∴MH=OMsin60°=（2﹣4t）× = （1﹣2t），

∴OH=OMcos60°=（2﹣4t）× =1﹣2t，

∴NH=（6﹣4t）﹣（1﹣2t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2

=3（4t2﹣4t+1）+（4t2﹣20t+25）

=16t2﹣32t+28．

②當 ＜t≤ 時，如圖2，作MH⊥x軸于點H，

，

在Rt△MOH中，

MH= （4t﹣2）= （2t﹣1），

NH= （4t﹣2）+（6﹣4t）=5﹣2t，

∴s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

③當t＞ 時，同理可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

綜上，可得s=[ （1﹣2t）]2+（5﹣2t）2=16t2﹣32t+28．

【解析】（1）判斷出甲、乙兩人到達O點前，只有當t=0時，△OMN∽△OAB，即可推得MN與AB不可能平行．（2）根據題意，分三種情況：①t＜ 時；②當 ＜t＜ 時；③當t＞ 時；求出當t為何值時，△OMN∽△OBA．（3）根據題意，分三種情況：①t≤ 時；②當 ＜t≤ 時；③當t＞ 時；寫出s與t之間的函數關系式即可．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．