Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+6經過點A（﹣3，0）和點B（2，0）．直線y=h（h為常數，且0＜h＜6）與BC交于點D，與y軸交于點E，與AC交于點F，與拋物線在第二象限交于點G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BE，求h為何值時，△BDE的面積最大；

（3）已知一定點M（﹣2，0）．問：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） y=-x2-x+6．（2） 當h=3時，△BDE的面積最大，最大面積是．（3） 存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當h=4時，點G的坐標為（-2，4）；當h=2時，點G的坐標為（，2）．

【解析】

（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值即可得該拋物線所對應的函數關系式；

（2）求得點C的坐標，再求得直線BC的函數關系式，用h表示出DE的長，根據三角形的面積公式構造出以△BDE的面積和h為變量的二次函數模型，利用二次函數的性質求解即可；

（3）分OF=FM、OF=OM和FM=OM三種情況求解即可.

（1）∵ 拋物線y=ax2+bx+6經過點A(-3,0)和點B(2,0)，

∴

解得

∴ 該拋物線所對應的函數關系式為y=-x2-x+6.

（2）如圖，

∵ 拋物線y=-x2-x+6與y軸交于點C，∴ C(0,6).

設直線BC的函數關系式為y=k1x+b1，∴ y=-3x+6.

當y=h時，-3x+6=h，得，即.

∴ .

∴ 當h=3時，△BDE的面積最大.

（3）如圖2.2，設直線AC的函數關式為y=k2x+b2，

∴ y=2x+6.

當y=h時，2x+6=h，得，

∴ F(h-3,h),

∴ .

又∵ M(-2,0)，

∴ OM2=4，FM2=(h-3+2)2+ h2=(h-1)2+ h2.

① 若OF=FM，則(h-3)2+ h2=(h-1)2+ h2，

解得h=4.

(另解：由等腰三角形“三線合一”，

∴-3=-1，得h=4.)

由-x2-x+6=4，解得x1=-2，x2=1(舍去)，

∴ G(-2,4).

② 若OF=OM，則(h-3)2+ h2=4，方程無實數解.

③ 若FM=OM，則(h-1)2+ h2=4，解得h1=2，(舍去).

由-x2-x+6=2，解得,(舍去)，

∴G(,2).

綜上所述，存在這樣的直線y=h，使△OFM是等腰三角形，此時h=4，G(-2,4)或h=2，G(,2).