Question

【題目】如圖，在邊長為的正方形ABCD中，G是AD延長線上的一點，且D為AG中點，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿看A→C→G的路線向G點勻速運動（M不與A，G重合），設運動時間t秒，連接BM并延長交AG于N點．

（1）當t為何值時，△ABM為等腰三角形？

（2）當點N在AD邊上時，若DN⊥HN，NH交∠CDG的平分線于H，求證：BN＝HN；

（3）過點M分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E，F，矩形AEMF與△ACG重疊部分的面積為S，請直接寫出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）詳見解析；（3）當t＝時，S的最大值為．

【解析】

（1）四種情況：當點M為AC的中點時，AM=BM；當點M與點C重合時，AB=BM；當點M在AC上，且AM= 時，AM=AB；當點M為CG的中點時，AM=BM；△ABM為等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，連接KN；由正方形的性質得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先證出∠BKN=∠NDH，再證出∠ABN=∠DNH，由ASA證明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①當M在AC上時，即0＜t≤2時，△AMF為等腰直角三角形，得出AF=FM= t，求出S= AFFM= t2；當t=2時，即可求出S的最大值；
②當M在CG上時，即2＜t＜4時，先證明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，證出△MFG為等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°= t，得出S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG，S為t的二次函數，即可求出結果．

（1）解：存在；當點M為AC的中點時，AM＝BM，則△ABM為等腰三角形；

當點M與點C重合時，AB＝BM，則△ABM為等腰三角形；

當點M在AC上，且AM＝ 時，AM＝AB，則△ABM為等腰三角形；

當點M為CG的中點時，AM＝BM，則△ABM為等腰三角形；

（2）證明：在AB上截取AK＝AN，連接KN；如圖1所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AB＝AD，

∴∠CDG＝90°，

∵BK＝AB﹣AK，ND＝AD﹣AN，

∴BK＝DN，

∵DH平分∠CDG，

∴∠CDH＝45°，

∴∠NDH＝90°+45°＝135°，

∴∠BKN＝180°﹣∠AKN＝135°，

∴∠BKN＝∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB＝90°，

又∵BN⊥NH，

即∠BNH＝90°，

∴∠ANB+∠DNH＝180°﹣∠BNH＝90°，

∴∠ABN＝∠DNH，

在△BNK和△NHD中，，

∴△BNK≌△NHD（ASA），

∴BN＝NH；

（3）解：①當M在AC上時，即0＜t≤2時，△AMF為等腰直角三角形，

∵AM＝t，

∴AF＝FM＝ t，

∴S＝ AFFM＝；

當t＝2時，S的最大值＝ ×22＝1；

②當M在CG上時，即2＜t＜4時，如圖2所示：

CM＝t﹣AC＝t﹣2，MG＝4﹣t，

在△ACD和△GCD中，，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD＝∠GCD＝45°，

∴∠ACM＝∠ACD+∠GCD＝90°，

∴∠G＝90°﹣∠GCD＝45°，

∴△MFG為等腰直角三角形，

∴FG＝MGcos45°＝（4﹣t） ＝2 ﹣t，

∴S＝S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG＝ ×2×﹣×CM×CM﹣×FM×FG，

＝2﹣（t﹣2）2﹣（2﹣t）2＝﹣ t2+4t﹣4＝﹣（t﹣ ）2+ ，

∴當t＝時，S的最大值為．