Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）已知點P（m，n）在拋物線上，當﹣2≤m＜3時，直接寫n的取值范圍；

（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點M，點D與點C關于點M對稱，試問在該拋物線上是否存在點P，使△ABP與△ABD全等？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣4≤n≤5；（3）P的坐標為（0，﹣3）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）將A，C兩點的坐標代入解析式可得拋物線的解析式；

（2）根據二次函數的性質可求n的取值范圍；

（3）在x軸上方的P不存在，點P只可能在x軸的下方，按照題意，分別求解即可．

解：（1）將點C坐標代入函數表達式得：y＝x2+bx﹣3，

將點A的坐標代入上式并解得：b＝﹣2，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，則x＝3或﹣1，即點B（3，0），

函數的對稱軸為x＝1，

m＝﹣2時，n＝4+4﹣3＝5，

m＜3，函數的最小值為頂點縱坐標的值：﹣4，

故﹣4≤n≤5；

（3）點D與點C（0，﹣3）關于點M對稱，則點D（2，3），

在x軸上方的P不存在，點P只可能在x軸的下方，

如下圖當點P在對稱軸右側時，點P為點D關于x軸的對稱點，此時△ABP與△ABD全等，

即點P（2，﹣3）；

同理點C（P′）也滿足△ABP′與△ABD全等，

即點P′（0，﹣3）；

故點P的坐標為（0，﹣3）或（2，﹣3）．