Question

【題目】如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y=ax2+bx﹣1過A、B兩點(diǎn)，并與過A點(diǎn)的直線y=﹣x﹣1交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線解析式及對(duì)稱軸；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點(diǎn)N，使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1；（2）存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）；（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣3）或（2，﹣1）

【解析】（1）由待定系數(shù)法求解即可；

（2）將四邊形周長(zhǎng)最小轉(zhuǎn)化為PC+PO最小即可；

（3）利用相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行分類討論，構(gòu)造圖形．設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線解析式即可．

（1）把A（-2，0），B（4，0）代入拋物線y=ax2+bx-1，得

解得

∴拋物線解析式為：y=x2x1

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=-＝1

（2）存在

使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最小，只需PC+PO最小

∴取點(diǎn)C（0，-1）關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′（2，-1），連C′O與直線x=1的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．

設(shè)過點(diǎn)C′、O直線解析式為：y=kx

∴k=-

∴y=-x

則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-）

（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時(shí)，

如圖，延長(zhǎng)MN交y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥y軸于點(diǎn)E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵M(jìn)N⊥AC

∴M、D關(guān)于AN對(duì)稱，則N為DM中點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，-a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-a1）

∵N為DM中點(diǎn)

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2a，a1）

把M代入y=x2x1，解得

a=4

則N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）

當(dāng)△AOC∽△CNM時(shí)，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB則點(diǎn)C關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)C′即為點(diǎn)N

由（2）N（2，-1）

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3）或（2，-1）