Question

【題目】在正方形中，是邊上一點（點不與點、重合），連結.如圖①，過點作交于點.易證.（不需要證明）如圖②，取的中點，過點作交于點，交于點.

（1）求證：.

（2）連結，若，求的長.

（3）如圖③，取的中點，連結.過點作交于點，于點，連結、.若，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）4.

【解析】

（1）過點G作GP⊥BC于P，判斷出PG＝BC，由題目中的材料可知△GPF≌△BCE，即可得出結論；

（2）利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半求解；

（3）借助（1）（2）的結論，結合S四邊形GMCE＝CG×OE+CG×OM進行求解即可．

解：（1）如圖②，

過點G作GP⊥BC于P，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

∴四邊形ABPG是矩形，

∴PG＝AB，

由題目中的材料可知：△GPF≌△BCE，

∴BE＝FG；

（2）由（1）知，BE＝FG，連接CM，

∵∠BCE＝90°，點M是BE的中點，

∴BE＝2CM＝2，

∴FG＝2；

（3）∵CM＝2，

∴ME＝2，

由（1）（2）得，CG＝BE＝4，

∵BE⊥CG，

∴S四邊形GMCE＝CG×OE+CG×OM＝CG×ME＝×4×2＝4．