Question

【題目】已知：在中，，．

（1）如圖1，將線段繞點逆時針旋轉得到，連結、，的平分線交于點，連結．

①求證：；②用等式表示線段、、之間的數量關系(直接寫出結果)；

（2）在圖2中，若將線段繞點順時針旋轉得到，連結、，的平分線交的延長線于點，連結．請補全圖形，并用等式表示線段、、之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；② 2CE+ AE=BD，(＋ 2 )AE＋EC＝BD 或BD=(AE＋CE )，答案不唯一；（2）見解析，2CE-AE=BD，答案不唯一，見解析.

【解析】

（1）①首先證明△ABE≌△ACE，由旋轉的性質，全等的性質和等腰直角三角形的性質求得，然后由三角形外角的性質可求出，問題得證；

②在ED上截取EH=AE，易得△AEH為等邊三角形，然后證明△AEB≌△AHD，通過線段間的等量代換即可得到2CE+ AE=BD；

（2）首先根據題意補全圖形，以A為頂點，AE為一邊作∠EAF=60°，AF交DB延長線于點F，證明△AEF是等邊三角形，△CAE≌△DAF（SAS）和△BAE≌△CAE（SAS），然后根據線段和差進行等量代換得到結果.

解：（1）①證明：∵，，平分，

∴，．

又∵ AE=AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

∴．

由旋轉可得△ACD是等邊三角形．

∴，．

∴，．

∴．

∴．

∵，．

∴．

∴．

．

②線段、、之間的數量關系是：2CE+ AE=BD．答案不唯一，如(＋ 2 )AE＋EC＝BD或BD=(AE＋CE )

如圖3，在ED上截取EH=AE，

∵，

∴△AEH為等邊三角形，

∴AE=AH，∠AEH=∠AHE=60°，

∴∠AEB=∠AHD=120°，

又∵，

∴△AEB≌△AHD，

∴BE=DH，

∵BD=BE+EH+DH，BE=CE，AE=EH，

∴BD=CE+AE+CE，

即2CE+ AE=BD.

（2）補全圖形如圖2，

線段、、之間的數量關系是：2CE -AE=BD．（答案不唯一）

證明：如圖2，以A為頂點，AE為一邊作∠EAF=60°，AF交DB延長線于點F．

∵，，平分，

∴．

由旋轉可得△ACD是等邊三角形．

∴，．

∴，．

∴．

∴．

∴．

又∵∠EAF=60°，

∴．

∴△AEF是等邊三角形．

∴AE=AF=EF．

在△CAE和△DAF中，

∵，，AE=AF，

∴△CAE≌△DAF（SAS）．

∴CE=DF．

∵，，AE=AE，

∴△BAE≌△CAE（SAS）．

∴BE=CE．

∵DF+BE-EF=BD，

∴2CE-AE=BD．