Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，1），如圖，直線y＝x與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，直線l為y＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知F（x0，y0）為平面內(nèi)一定點(diǎn)，M（m，n）為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，求定點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2；（2）P（2，﹣）；（3）F（2，1）.

【解析】

（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，將點(diǎn)（4，1）代入，即可求解析式；

（2）聯(lián)立方程求出對(duì)稱軸x＝2，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為 當(dāng)點(diǎn)P，A'，B共線時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值；待定系數(shù)法求出直線A'B的解析式即可求點(diǎn)P；

（3）由 點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，得到將代入，整理得到由m是任意的，所以有方程組，求解即可．

解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點(diǎn)（4，1）代入，

得到a＝，

∴

（2）與的交點(diǎn)

對(duì)稱軸x＝2，

點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為

當(dāng)點(diǎn)P，A'，B共線時(shí)，|PA﹣PB|取得最大值；

設(shè)直線A'B的解析式為y＝kx+b，

∴

∴

∴

∴

（3）∵點(diǎn)M到直線l的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離總是相等，

∴

∴

∵,

∴

∴

∴

∴F（2，1）；