Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B運動．過點P作PQ⊥AB交折線ACB于點Q，D為PQ中點，以DQ為邊向右側作正方形DEFQ．設正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點P的運動時間為x（s）．

（1）當點Q在邊AC上時，正方形DEFQ的邊長為cm（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）當點P不與點B重合時，求點F落在邊BC上時x的值；
（3）當0＜x＜2時，求y關于x的函數(shù)解析式；
（4）直接寫出邊BC的中點落在正方形DEFQ內部時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）x
（2）解：如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，

∵D為PQ中點，

∴DQ=x，

∴GP=x，

∴2x+x+2x=4，

∴x= ；

（3）解：如圖②，當0＜x≤ 時，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，

∴y=x2；

如圖③，當 ＜x≤1時，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH= AB=2，

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，

∴MQ=2CK=4﹣4x，F(xiàn)M=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣ FM2，

∴y=x2﹣ （5x﹣4）2=﹣ x2+20x﹣8，

∴y=﹣ x2+20x﹣8；

如圖④，當1＜x＜2時，PQ=4﹣2x，

∴DQ=2﹣x，

∴y=S△DEQ= DQ2，

∴y= （2﹣x）2，

∴y= x2﹣2x+2；

（4）解：當Q與C重合時，E為BC的中點，

即2x=2，

∴x=1，

當Q為BC的中點時，BQ= ，

PB=1，

∴AP=3，

∴2x=3，

∴x= ，

∴邊BC的中點落在正方形DEFQ內部時x的取值范圍為：1＜x＜ ．

【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，

∴∠AQP=45°，

∴PQ=AP=2x，

∵D為PQ中點，

∴DQ=x，

所以答案是：x；

（2）結合題意，畫出示意圖，F(xiàn)G=BG=2x,PQ=AP=2x,由AB=x+2x+2x構建方程，求出x；（3）由第（2）題為基礎，x=是分界點，分段討論時就分為0＜x≤ ， ＜x≤1，1＜x＜2；（4）先假設中點落在正方形的兩個頂點為極限點，分別求出極限點時對應的x值，即可求出范圍.

【考點精析】本題主要考查了函數(shù)關系式和函數(shù)自變量的取值范圍的相關知識點，需要掌握用來表示函數(shù)關系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關系式；使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍才能正確解答此題．