Question

【題目】定義：對于給定的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x＜0時，它們對應的函數值互為相反數；當x≥0時，它們對應的函數值相等，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．例如：一次函數y=x﹣1，它的相關函數為y= ．
（1）已知點A（﹣5，8）在一次函數y=ax﹣3的相關函數的圖象上，求a的值；
（2）已知二次函數y=﹣x2+4x﹣ ．①當點B（m， ）在這個函數的相關函數的圖象上時，求m的值；
②當﹣3≤x≤3時，求函數y=﹣x2+4x﹣ 的相關函數的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐標系中，點M，N的坐標分別為（﹣ ，1），（ ，1），連結MN．直接寫出線段MN與二
次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象有兩個公共點時n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數y=ax﹣3的相關函數為y= ，將點A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．
（2）解：二次函數y=﹣x2+4x﹣ 的相關函數為y=

①當m＜0時，將B（m， ）代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，解得：m=2+ （舍去）或m=2﹣ ．

當m≥0時，將B（m， ）代入y=﹣x2+4x﹣ 得：﹣m2+4m﹣ = ，解得：m=2+ 或m=2﹣ ．

綜上所述：m=2﹣ 或m=2+ 或m=2﹣ ．

②當﹣3≤x＜0時，y=x2﹣4x+ ，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，

∴此時y的最大值為 ．

當0≤x≤3時，函數y=﹣x2+4x﹣ ，拋物線的對稱軸為x=2，當x=0有最小值，最小值為﹣ ，當x=2時，有最大值，最大值y= ．

綜上所述，當﹣3≤x≤3時，函數y=﹣x2+4x﹣ 的相關函數的最大值為 ，最小值為﹣ ；

（3）解：如圖1所示：線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有1個公共點．

所以當x=2時，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如圖2所示：線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n與y軸交點縱坐標為1，

∴﹣n=1，解得：n=﹣1．

∴當﹣3＜n≤﹣1時，線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．

如圖3所示：線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線y=﹣x2+4x+n經過點（0，1），

∴n=1．

如圖4所示：線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．

∵拋物線y=x2﹣4x﹣n經過點M（﹣ ，1），

∴ +2﹣n=1，解得：n= ．

∴1＜n≤ 時，線段MN與二次函數y=﹣x2+4x+n的相關函數的圖象恰有2個公共點．

綜上所述，n的取值范圍是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ ．

【解析】（1）因為點在函數圖像上，把點的坐標代入解析式;（2）對于點B（m， ）,由于m不知正負，因此需分類討論;（2）由于﹣3≤x≤3有正又有負，因此需分段：3≤x＜0和0≤x≤3，分別對應著相關函數的兩段解析式，分別求最大值和最小值，最后比較兩段函數的最大值的較大著作為整個函數的最大值;（3）需數形結合，按照拋物線與y軸的交點由低到高，可推出﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ .
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．