Question

如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。
（1）求證：MN=AM+BN；

（2）若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由。

Answer 1

（1）見解析；（2）MN=BN-AM

試題分析：（1）根據同角的余角相等可得∠MAC=∠NCB，又∠AMC=∠CNB=90°，AC=BC，即可證得△AMC≌△CNB，從而可得AM=CN，MC=BN，即可得到結論；
（2）類似于（1）的方法，證得△AMC≌△CNB，從而有AM=CN，MC=BN，可推出AM、BN與MN之間的數量關系．
∵∠C=90°
∴∠MCA+∠BCN=90°
∵AM⊥MN，BN⊥MN
∴∠AMC=∠CNB=90°
∴∠MAC+∠MCA=90°
∴∠MAC=∠BCN
在△AMC和△CNB中
∠MAC=∠BCN
∠AMC=∠CMB，
AC=BC
∴△AMC≌△CNB
∴AM=CN，MC=BN
∴MN=MC+CN=AM+BN
（2）（7分）答: MN=BN-AM
證明：∵∠AMC=∠BNC=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∠NCB+∠CBN=90°，
故∠ACM=∠CBN，
在△AMC和△CNB中，
∠ACM=∠CBN
∠AMC=∠BNC=90°
AC=BC，
∴△AMC≌△CNB，
∴CM =BN，
CN=AM，
∴MN=CM-CN=BN-AM，
∴MN=BN-AM。
點評：解答本題的關鍵是根據同角的余角相等得到對應角相等，從而證得三角形全等．