Question

【題目】已知函數f（x）= x2+ax2+bx﹣ （a＞0，b∈R），f（x）在x=x1和x=x2處取得極值，且|x1﹣x2|= ，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y=0垂直． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明關于x的方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有兩個實數根（其中f′（x）是f（x）的導函數，e是自然對數的底數）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）求導f′（x）=x2+2ax+b，由f（x）在x=x1和x=x2處取得極值， 則x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的兩個根，則x1+x2=﹣2a，x1x2=b，
由|x1﹣x2|= ，則（x1+x2）2﹣4x1x2=5，則4a2﹣4b=5，①
由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x+y=0垂直，
則f′（1）=1，
即2a+b+1=0，②，
解得： ．
∴f（x）= x3+ x2﹣x﹣ ，
（Ⅱ）對于（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0，
當k=0時，ex﹣1=0，方程為實根，
當k≠0時，k+ = ，令g（x）= ，
g′（x）=﹣e =﹣e ，
當x∈（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）時，g′（x）＜0，
∴g（x）的單調遞減區間（﹣∞，﹣1），（2，+∞）單調遞增區間（﹣1，2），
函數g（x）在x=﹣1和x=2處分別求得極小值和極大值，
g（x）極小=g（﹣1）=﹣e2＜0，g（x）極大=g（2）= ＞0，
∴對于g（x）= ，由ex﹣1＞0恒成立，
且y=x2+x﹣1時與x軸有兩個交點，
從而g（x）無極大值，g（x）min=g（x）極小=g（﹣1）=﹣e2 ，
當k＜0時，k+ ≤﹣2直線y=k+ ，與曲線y=g（x）至多有兩個交點，
當k＞0時，k+ ≥2＞ =g（x）極大 ， 直線y=k+ ，與曲線y=g（x）只有一個交點，
∴方程（k2+1）ex﹣1﹣kf′（x）=0至多只有兩個實數根．
【解析】（Ⅰ）由題意可知x1 ， x2是方程x2+2ax+b=0的兩個根，利用韋達定理及|x1﹣x2|= ，求得4a2﹣4b=5，由f′（1）=1，2a+b+1=0聯立即可求得a和b的值，求得f（x）的解析式；（Ⅱ）由題意可知當k≠0時，k+ = ，構造輔助函數，求導根據函數的單調性求得函數的極值及最值，利用基本不等式的性質，當k＜0時，k+ ≤﹣2直線y=k+ ，與曲線y=g（x）至多有兩個交點，當k＞0時，k+ ≥2＞ =g（x）極大 ， 直線y=k+ ，與曲線y=g（x）只有一個交點，即可求證方程至多有兩個實根．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．