Question

【題目】如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ．點(diǎn)E為線段BD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B，D不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD，與BC相交于點(diǎn)F，連接CE．設(shè)BE=x，y= ．

（1）求BD的長(zhǎng)；
（2）如果BC=BD，當(dāng)△DCE是等腰三角形時(shí)，求x的值；
（3）如果BC=10，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過(guò)A作AH⊥BD于H，

∵AD∥BC，AB=AD=5，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，

在Rt△ABH中，

∵tan∠ABD=tan∠DBC= ，

∴cos∠ABD= ，

∴BH=DH=4，

∴BD=8；

（2）

解：∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，

∴①如圖2，

當(dāng)CD=DE時(shí)，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，

過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G，

在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，

∴DG= BD= ，BG= BD= ，

∴CG=8﹣BG= ，

在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，DG2+CG2=CD2，

∴（ ）2+（ ）2=（8﹣x）2，

∴x=8+ （舍）或x=8﹣ ，

②如圖3，

當(dāng)CE=CD時(shí)，

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD，

∴DG=EG= DE，

在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC= ，

∴BG= ，

∴DG=BD﹣BG= ，

∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=

（3）

解：∵BF=x，BC=10，

∴FC=10﹣x，

∴ ，

∵EF∥DC，

∴△FEB∽△CDB，

∴

∴ = =﹣ x2+ x（0＜x＜8）

【解析】（1）過(guò)A作AH⊥BD于H，再根據(jù)AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根據(jù)tan∠ABD=tan ，計(jì)算出BH=DH=4，進(jìn)而得到BD=8；（2）分兩種情況用銳角三角函數(shù)計(jì)算即可得出結(jié)論．（3）首先利用平行線的性質(zhì)得出△FEB∽△CDB，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用梯形的定義和直角梯形，掌握一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；一腰垂直于底的梯形是直角梯形即可以解答此題．