Question

【題目】已知球O的半徑為1，A，B是球面上的兩點，且AB= ，若點P是球面上任意一點，則 的取值范圍是（ ）
A.[ ， ]
B.[ ， ]
C.[0， ]
D.[0， ]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵OA=OB=1，AB= ， ∴cos∠AOB= =﹣ ，即∠AOB=120°，
以球心O為原點，以平面AOB的垂線為豎軸建立空間坐標系，
設A（1，0，0），B（﹣ ， ，0），P（x，y，z）
則 =（1﹣x，﹣y，﹣z）， =（﹣ ﹣x， ﹣y，﹣z），且x2+y2+z2=1，
∴ =（1﹣x）（﹣ ﹣x）﹣y（ ﹣y）+z2=x2+y2+z2﹣ （x+ y）﹣ = ﹣ （x+ y）．
∵P（x，y，z）是球上的一點，∴x2+y2≤1，
設m=x+ ，則當直線x+ y﹣m=0與圓x2+y2=1相切時，m取得最值，
∴ =1，∴﹣2≤m≤2，
∴當m=﹣2時， 取得最大值 ，當m=2時， 取得最小值﹣ ．
故選B．