Question

【題目】已知圓M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在拋物線C：x2=2py（p＞0）上，圓M過原點且與C的準線相切． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）點Q（0，﹣t）（t＞0），點P（與Q不重合）在直線l：y=﹣t上運動，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B．求證：∠AQO=∠BQO（其中O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】解：（I）解法一：因為圓M的圓心在拋物線上且與拋物線的準線相切，且圓半徑為3， 故 ，
因為圓過原點，所以a2+b2=9，所以 ，
又a2=2pb，所以 ，
因為p＞0，所以p=4，所以拋物線C方程x2=8y．
解法二：因為圓M的圓心在拋物線上且與拋物線的準線相切，由拋物線的定義，
圓M必過拋物線的焦點 ，
又圓M過原點，所以 ，
又圓的半徑為3，所以 ，又a2=2pb，
又 ，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以拋物線C方程x2=8y．
解法三：因為圓M與拋物線準線相切，所以 ，
且圓過 又圓過原點，故 ，可得 ，
解得p=4，所以拋物線C方程x2=8y．
（Ⅱ） 解法一：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（m，﹣t），
C方程為 ，所以 ，
∴拋物線在點A處的切線的斜率 ，所以切線PA方程為： ，
即 ，化簡得 ，
又因過點P（m，﹣t），故可得， ，
即 ，同理可得 ，
所以x1 ， x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，
因為Q（0，﹣t），所以 ，
化簡 = ．
所以∠AQO=∠BQO．
解法二：依題意設點P（m，﹣t），設過點P的切線為y=k（x﹣m）﹣t，所以 ，
所以x2﹣4kx+4km+4t=0，所以△=16k2﹣4（4km+4t）=0，即k2﹣km﹣t=0，
不妨設切線PA、PB的斜率為k1、k2 ， 點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
所以k1+k2=m，k1k2=﹣t，又 ，所以 ，所以 ，
所以x1=2k1 ， ，即點 ，同理點 ，
因為Q（0，﹣t），所以 ，同理 ，
所以 = + = ，
所以∠AQO=∠BQO．
【解析】（I）解法一：可得 ，a2+b2=9，即 ，又a2=2pb，所以 ，解得p=4，即可 解法二：可得圓M必過拋物線的焦點 ，又圓M過原點，得 ，
又圓的半徑為3，得 ，又a2=2pb，得p=4．即可；
解法三：由圓M與拋物線準線相切，得 ，
且圓過 又圓過原點，故 ，可得 ，解得p=4，即可（Ⅱ） 解法一：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），P（m，﹣t），/span>
可得 ， ，即x1 ， x2為方程x2﹣2mx﹣4t=0的兩根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得 ，化簡 = ．可證得∠AQO=∠BQO．
解法二：依題意設點P（m，﹣t），設過點P的切線為y=k（x﹣m）﹣t由 ，
得x2﹣4kx+4km+4t=0，由△=16k2﹣4（4km+4t）=0，即k2﹣km﹣t=0．
不妨設切線PA、PB的斜率為k1、k2 ， 點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
得k1+k2=m，k1k2=﹣t，又 ，
得x1=2k1 ， ，即點 ，同理點 ，
可得 ，同理 ，
即 = + = ，可證得∠AQO=∠BQO．