Question

【題目】過雙曲線x2﹣ =1的右支上一點P，分別向圓C1：（x+4）2+y2=4和圓C2：（x﹣4）2+y2=1作切線，切點分別為M，N，則|PM|2﹣|PN|2的最小值為（ ）
A.10
B.13
C.16
D.19

Answer 1

【答案】B
【解析】解：圓C1：（x+4）2+y2=4的圓心為（﹣4，0），半徑為r1=2； 圓C2：（x﹣4）2+y2=1的圓心為（4，0），半徑為r2=1，
設(shè)雙曲線x2﹣ =1的左右焦點為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），
連接PF1 ， PF2 ， F1M，F(xiàn)2N，可得
|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）
=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）
=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3
=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥22c﹣3=28﹣3=13．
當且僅當P為右頂點時，取得等號，
即最小值13．
故選B．

求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x2﹣ =1的左右焦點為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），連接PF1 ， PF2 ， F1M，F(xiàn)2N，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．