Question

【題目】△ABC中，D為線段BC的中點，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，則BC= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，
設∠CAD=α，∠BAD=β，則∠CAB=α+β．
則有 ， ，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
由題意知tan∠CAD=sin∠CAB，即tanα=sin（α+β）．
切化弦可得 ，
故sinα=sin（α+β）cosα，從而可得2sinβ=sin（α+β）cosα，
利用角的變形可得2sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα，
展開得sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，兩邊同除以cosα（cosα≠0）
可得sin（α+β）=2cos（α+β）tanα，又因為tanα=sin（α+β），
化簡得2cos（α+β）=1，故 ．
所以BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos（α+β）=3，故 ．
所以答案是：