Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是∠ACB的平分線與⊙O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且PC=PE．
（1）求AC、AD的長；
（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①如圖，連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

AC= = =5 （cm），

②∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴ ，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

∴AD= AB= ×10=5 cm；

（2）

解：直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

即OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切．

【解析】（1）連接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，運用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，（2）連接OC，由角的關系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直線PC與⊙O相切．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和圓周角定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題．