Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點B的直線MN∥AC，D為BC邊上一點，連接AD，作DE⊥AD交MN于點E，連接AE．

（1）如圖①，當∠ABC=45°時，求證：AD=DE；
（2）如圖②，當∠ABC=30°時，線段AD與DE有何數量關系？并請說明理由；
（3）當∠ABC=α時，請直接寫出線段AD與DE的數量關系．（用含α的三角函數表示）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，過點D作DF⊥BC，交AB于點F，

則∠BDE+∠FDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠FDE+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，

∴∠C=45°，

∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，

∵∠BFD=45°，DF⊥BC，

∴∠BFD=45°，BD=DF，

∴∠AFD=135°，

∴∠EBD=∠AFD，

在△BDE和△FDA中

，

∴△BDE≌△FDA（ASA），

∴AD=DE；

（2）

解：DE=AD，

理由：如圖2，過點D作DG⊥BC，交AB于點G，

則∠BDE+∠GDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°，

∴∠BDE=∠ADG，

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，

∴∠C=60°，

∵MN∥AC，

∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，

∵∠ABC=30°，DG⊥BC，

∴∠BGD=60°，

∴∠AGD=120°，

∴∠EBD=∠AGD，

∴△BDE∽△GDA，

∴，

在Rt△BDG中，

=tan30°=，

∴DE=AD；

（3）

解：AD=DEtanα；

理由：如圖2，

∠BDE+∠GDE=90°，

∵DE⊥AD，

∴∠GDE+∠ADG=90°，

∴∠BDE=∠ADG，

∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，

∴∠EBD=∠AGD，

∴△EBD∽△AGD，

∴，

在Rt△BDG中，

=tanα，則=tanα，

∴AD=DEtanα．

【解析】（1）首先過點D作DF⊥BC，交AB于點F，得出∠BDE=∠ADF，以及∠EBD=∠AFD，再得出△BDE≌△FDA（ASA），求出即可；
（2）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案；
（3）首先過點D作DG⊥BC，交AB于點G，進而得出∠EBD=∠AGD，證出△BDE∽△GDA即可得出答案．