Question

4．為加速南充森林建設，市政府決定對樹苗育苗基地實行政府補貼，規定每年培植一畝樹苗一次性補貼若干元，隨著補貼數字的不斷增大，某地苗圃每年育苗規模也不斷增加，但每年每畝苗圃的收益會相應下降，經調查每年培植畝數y（畝）與政府每畝補貼數額x（元）之間有如下關系（政府補貼為100元的整數倍，且每畝補貼不超過1000元）：

x（元）	0	100	200	300	400
y（畝）	600	1000	1400	1800	2200

而每年每畝的收益p（元）與政府每畝補貼數額x（元）之間滿足一次函數關系p=-5x+9000
（1）請觀察題中的表格，用學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識求出育苗畝數y（畝）與政府每畝補貼數額x（元）之間的函數關系式；
（2）當2012年政府每畝補貼數額x（元）是多少元時，該地區苗圃收益w（元）最大，最大收益是多少元？
（3）在2012年苗圃取得最大收益的育苗情況下，該地區培植面積剛好達到最大化，要想增收，只能提高每畝收益．經市場調查，培育銀杏樹苗暢銷，每畝的經濟效益相應會更好.2013年該地區用去年育苗面積的（30-a）%的土地培育銀杏樹苗，其余面積繼續培植一般類樹苗，預計今年培育銀杏類樹苗每畝收益在去年培植一般類樹苗每畝收益的基礎上增加了（100+3a）%，由于培育銀杏類樹苗每畝多支出1000元，2013年該地區因培育銀杏類樹苗預計比去年增收399萬元．請參考以下數據，通過計算，估算出a的整數值．（參考數據：$\sqrt{35}$=5.916，$\sqrt{37}$=6.082，$\sqrt{39}$=6.244）

Answer 1

分析 （1）首先猜想：y與x是一次函數關系．設y=kx+b，進而求出解析式，進而驗證即可；
（2）利用w=yp=（4x+600）（-5x+9000），進而求出函數最值；
（3）根據題意結合變化后的土地面積與樹苗每畝收益，利用2013年該地區因培育銀杏類樹苗預計比去年增收399萬元，進而得出等式求出答案．

解答 解：（1）猜想：y與x是一次函數關系．設y=kx+b（k≠0）
則$\left\{\begin{array}{l}{600=0+b}\\{1000=100k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=600}\end{array}\right.$，
故y=4x+600，
驗證：當x=200時，y=4×200+600=1400，
結論：猜想成立，即y=4x+600；

（2）w=yp=（4x+600）（-5x+9000）
由（4x+600）（-5x+9000）=0，
解得：x₁=-150，x₂=1800，
故對稱軸：x=$\frac{-150+1800}{2}$=825，
∵開口向下，對稱軸是x=825，而x是100的倍數，
∴當x=800時，w_最大值=（4×800+600）（-5×800+9000）=19000000，
∴當政府每畝補貼800元時，該地苗圃收益最大，最大值為19000000元．

（3）當x=800時，y=4x+600=4×800+600=3800（畝），
P=-5x+9000=-5×800+9000=5000（元），
由題意得：3800（30-a）%×[5000（1+3a%）-1000]=3990000，
整理得：3a²-10a-300=0，
△=（-10）²-4×3×（-300）=3700，
∴a=$\frac{10±\sqrt{3700}}{2×3}$，
∴a≈11.8=12，a₂=$\frac{10-10\sqrt{37}}{6}$（舍去），
答：a的值約為12．

點評 此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式，正確表示出變化后的土地面積與樹苗每畝收益是解題關鍵．