Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠MDN=90°，則cos∠DMN為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 連結(jié)AD，如圖，先利用勾股定理計(jì)算出BC=10，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DA=DC=5，則∠1=∠C，接著根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)A、D在以MN為直徑的圓上，所以∠1=∠DMN，則∠C=∠DMN，然后在Rt△ABC中利用余弦定義求∠C的余弦值即可得到cos∠DMN．

解答 解：連結(jié)AD，如圖，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，
∴DA=DC=5，
∴∠1=∠C，
∵∠MDN=90°，∠A=90°，
∴點(diǎn)A、D在以MN為直徑的圓上，
∴∠1=∠DMN，
∴∠C=∠DMN，
在Rt△ABC中，cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos∠DMN=$\frac{4}{5}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．