Question

【題目】如圖所示，頂點為（ ，﹣ ）的拋物線y=ax2+bx+c過點M（2，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點A是拋物線與x軸的交點（不與點M重合），點B是拋物線與y軸的交點，點C是直線y=x+1上一點（處于x軸下方），點D是反比例函數y= （k＞0）圖象上一點，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意可設拋物線方程為頂點式y=a（x﹣ ）2﹣ （a≠0），

將點M（2，0）代入可得：a（2﹣ ）2﹣ =0，

解得a=1．

故拋物線的解析式為：y=（x﹣ ）2﹣

（2）

解：由（1）知，拋物線的解析式為：y=（x﹣ ）2﹣ ．

則對稱軸為x= ，

∴點A與點M（2，0）關于直線x= 對稱，

∴A（1，0）．

令x=0，則y=﹣2，

∴B（0，﹣2）．

在直角△OAB中，OA=1，OB=2，則AB= ．

設直線y=x+1與y軸交于點G，易求G（0，1）．

∴直角△AOG是等腰直角三角形，

∴∠AGO=45°．

∵點C是直線y=x+1上一點（處于x軸下方），而k＞0，所以反比例函數y= （k＞0）圖象位于點一、三象限．

故點D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：

①此菱形以AB為邊且AC也為邊，如圖1所示，

過點D作DN⊥y軸于點N，

在直角△BDN中，∵∠DBN=∠AGO=45°，

∴DN=BN= = ，

∴D（﹣ ，﹣ ﹣2），

∵點D在反比例函數y= （k＞0）圖象上，

∴k=﹣ ×（﹣ ﹣2）= + ；

②此菱形以AB為對角線，如圖2，

作AB的垂直平分線CD交直線y=x+1于點C，交反比例函數y= （k＞0）的圖象于點D．

再分別過點D、B作DE⊥x軸于點F，BE⊥y軸，DE與BE相較于點E．

在直角△BDE中，同①可證∠AGO=∠DBO=∠BDE=45°，

∴BE=DE．

可設點D的坐標為（x，x﹣2）．

∵BE2+DE2=BD2，

∴BD= BE= x．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=BD= x．

∴在直角△ADF中，AD2=AF2+DF2，即（ x）=（x+1）2+（x﹣2）2，

解得x= ，

∴點D的坐標是（ ， ）．

∵點D在反比例函數y= （k＞0）圖象上，

∴k= × = ，

綜上所述，k的值是 + 或 ．

【解析】（1）設拋物線方程為頂點式y=a（x﹣ ）2﹣ ，將點M的坐標代入求a的值即可；（2）設直線y=x+1與y軸交于點G，易求G（0，1）．則直角△AOG是等腰直角三角形∠AGO=45°．點C是直線y=x+1上一點（處于x軸下方），而k＞0，所以反比例函數y= （k＞0）圖象位于點一、三象限．故點D只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下2種情況：①此菱形以AB為邊且AC也為邊，②此菱形以AB為對角線，利用點的坐標與圖形的性質，勾股定理，菱形的性質和反比例函數圖象上點的坐標特征求得k的值即可．
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和二次函數的性質，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．