Question

【題目】如圖，一長度為10的線段AC的兩個端點A、C分別在y軸和x軸的正半軸上滑動，以A為直角頂點，AC為直角邊在第一象限內作等腰直角△ABC，連接BO．
（1）求OB的最大值；
（2）在AC滑動過程中，△OBC能否恰好為等腰三角形？若能，求出此時點A的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：取AC的中點D，連接OD、BD．

在Rt△ABC中，∵AC=AB=10，

∴OD= AC=5，AD=DB=5，BD= =5 ，

∵OB≤OD+BD，

∴OB的最大值為5+5

（2）解：作BE⊥y軸于E．

∵∠BEA=∠AOC=90°，∠BAC=90°，

∴∠EBA=∠OAC，

∵AB=AC，

∴△ABE≌△CAO，

∴BE=OA，

∴AE=OC．

①∵EA＜AB＜OB，EA=OC，

∴OC＜OB，即OC≠OB．

②∵OC＜OA＜BC，即OC≠BC．

③當OB=BC時，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，

設OA=a，則BE=a，OC=2a，

由OA2+OC2=AC2，a2+4a2=102，解得a=2 ，

∴A（0，2 ），

綜上所述，當A（0，2 ）時，△OBC是等腰三角形．

【解析】（1）取AC的中點D，連接OD、BD．構建三邊關系OB≤OD+BD，求出OD、OB即可解決問題；（2）作BE⊥y軸于E．分三種情形分類討論①由EA＜AB＜OB，EA=OC，推出OC＜OB，即OC≠OB．②由OC＜OA＜BC，即OC≠BC．③當OB=BC時，作BF⊥x軸于F，則OF=FC=BE，設OA=a，則BE=a，OC=2a，由OA2+OC2=AC2 ， 構建方程即可；
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的判定的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等才能正確解答此題．