Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=與拋物線y=交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的橫坐標為-4，點P為直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點Q，PH⊥AB于H．

（1）求b的值及sin∠PQH的值；

（2）設點P的橫坐標為t，用含t的代數式表示點P到直線AB的距離PH的長，并求出PH之長的最大值以及此時t的值；

（3）連接PB，若線段PQ把△PBH分成成△PQB與△PQH的面積相等，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=-1，；（2），當t=-1時，PH有最大值為；（3）P（-3，0）．

【解析】

（1）令y=0，求出點A的坐標，然后把點A的坐標代入直線解析式，求出點B的值，然后根據點A和點C的坐標，求出OA和OC的長度，根據勾股定理求出AC的長度，根據PQ∥OC，可得∠PQH=∠OCA，然后求出sin∠PQH的值；

（2）求出點P和點Q的坐標，運用三角函數，求出PH的函數關系式，運用求最大值的方法求解即可．

（3）作BD⊥PQ交PQ的延長線于點D，由S△PQB=S△PQH，得出BQ=QH，利用三角函數求出QH和BQ的關系式，運用相等的關系求出t，即可得出點P的坐標．

解：（1）令y=0得：，化簡x2+x-6=0，解得x1=-3，x2=2，

∴A（2，0），

∵A（2，0）在直線上，

∴1+b=0，解得b=-1，

∴OC=1，OA=2，

，

∵PQ∥OC，

∴∠PQH=∠OCA，

，

（2），

，

，

，

∴當t=-1時，PH有最大值為，

（3）如圖，作BD⊥PQ交PQ的延長線于點D，設點P的橫坐標為t，

∵S△PQB=S△PQH，

∴BQ=QH，

在RT△PHQ中，

，

，

，

在RT△BDQ中，

∵∠BQD=∠PQH，

，

，

，

，

，

∴t2+7t+12=0，

∴t1=-3，t2=-4（舍去），

∴P（-3，0）．