Question

【題目】如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．

（1）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數量關系，并說明理由；

（2）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由；

（3）當∠DCE繞點C旋轉到CD與OA的反向延長線相交時，上述結論是否成立？請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（1）中結論仍然成立，見解析；（3）（1）中結論不成立， ，見解析.

【解析】

（1）先判斷出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函數得出ODOC，同OEOC，即可得出結論；

（2）同（1）的方法得OF+OGOC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代換即可得出結論；

（3）同（2）的方法即可得出結論．

（1）∵OM是∠AOB的角平分線，

∴∠AOC=∠BOC∠AOB=30°．

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°．

在Rt△OCD中，OD=OCcos30°OC，

同理：OEOC，

∴OD+OEOC；

（2）（1）中結論仍然成立，理由如下：

過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

∴OD+OEOC；

（3）（1）中結論不成立，結論為：OE﹣ODOC，理由如下：

過點C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°．

∵∠AOB=60°，

∴∠FCG=120°，

同（1）的方法得：OFOC，OGOC，

∴OF+OGOC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點C是∠AOB的平分線OM上一點，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣ODOC．