Question

【題目】如圖，正方形ABCD，點P在射線CB上運動(不包含點B、C)，連接DP，交AB于點M，作BE⊥DP于點E，連接AE，作∠FAD=∠EAB，FA交DP于點F．

(1)如圖a，當點P在CB的延長線上時，

①求證：DF=BE；

②請判斷DE、BE、AE之間的數量關系并證明；

(2)如圖b，當點P在線段BC上時，DE、BE、AE之間有怎樣的數量關系？請直接寫出答案，不必證明；

(3)如果將已知中的正方形ABCD換成矩形ABCD，且AD：AB=：1，其他條件不變，當點P在射線CB上時，DE、BE、AE之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出答案，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；②DE=BE+AE，理由詳見解析；（2）DE=AE﹣BE；（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．

【解析】

（1）①由正方形的性質得到AD＝AB，∠BAD＝90°，判斷出△ABE≌△ADF，即可；②由①得到△ABE≌△ADF，并且判斷出△EAF為直角三角形，用勾股定理即可；

（2）先由正方形的性質和已知條件判斷出△ABE≌△ADF，再用判斷出△EAF為直角三角形，用勾股定理即可；

（3）分兩種情況討論，先由正方形的性質和已知條件判斷出△ABE∽△ADF，AF＝AE，DF＝BE，再判斷出△EAF為直角三角形，用勾股定理結合圖形可得結論．

證明：（1）①正方形ABCD中，AD=AB，∠ADM+∠AMD=90°

∵BE⊥DP，

∴∠EBM+∠BME=90°，

∵∠AMD=∠BME，

∴∠EBM=∠ADM，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF，

∴DF=BE；

②DE=BE+AE，

理由：由（1）有△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，

∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∴EF=AE，

∵DE=DF+EF，

∴DE=BE+AE；

（2）DE=AE﹣BE；

理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，

∵∠FAD=∠EAB，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∴∠AFE+∠AEF=90°

∵BE⊥DP，

∴∠BEA+∠AEF=90°，

∴∠BEA=∠AFE，

∵∠FAD=∠EAB，AD=AB

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，BE=DF

∵∠EAF=90°

∴EF=AE，

∵EF=DF+DE=AE，

∴DE=AE﹣DF=AE﹣BE；

（3）DE=2AE+BE或DE=2AE﹣BE．

①如圖1所示時，

正方形ABCD中，∠ADM+∠AMD=90°

∵BE⊥DP，

∴∠EBM+∠BME=90°，

∵∠AMD=∠BME，

∴∠EBM=∠ADM，

∵∠FAD=∠EAB

∴△ABE∽△ADF，

∴，

∵AD：AB=：1，

∴，

∴AF=AE，DF=BE

∵∠FAD=∠EAB

∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，

∴EF==2AE=DE﹣DF=DE﹣BE，

即：DE=2AE+BE；

②如圖2所示，

∵∠DAF=∠BAE，

∴∠EAF=∠BAD=90°，

∵∠DAF=∠BAE，

∴△BAE∽△DAF，

∴，

∵AD：AB=：1，

∴，

∴AF=AE，DF=BE，

∵∠EAF=90°，

根據勾股定理得，EF==2AE=DE+DF=DE+BE，

∴DE=2AE﹣BE．