Question

2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，E，F分別是AC，BC邊上一點．
（1）求證：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$；
（2）若CE=$\frac{1}{3}$AC，BF=$\frac{1}{3}$BC，求∠EDF的度數．

Answer 1

分析 （1）證相關線段所在的三角形相似即可，即證Rt△ADC∽Rt△CDB；
（2）易證得CE：BF=AC：BC，聯立（1）的結論，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易證得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，則∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度數．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°
又∵∠A+∠B=90°
∴∠B=∠ACD
∴Rt△ADC∽Rt△CDB
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$；

（2）∵$\frac{CE}{BF}$=$\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{3}BC}$=$\frac{AC}{BC}$，
又∵∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD；
∴∠CDE=∠BDF；
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．

點評 此題考查的是相似三角形的判定和性質；識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想根據圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．