Question

11．在⊙O中，弦BC垂直平分半徑OD，BC交OD于K，延長DO交DO于A，連接AB、AC
（1）求證：△ABC為等邊三角形；
（2）若弧BM=弧DM，CM交BD于點P，連接KP，求sin∠BKP；
（3）在（2）的條件下，若PK=2$\sqrt{3}$，求點D到MC的距離．

Answer 1

分析 首先證明△OBD是等邊三角形，再證明AB=AC，∠ACB=∠D=60°即可解決問題．
（2）如圖2中，連接CD，作PN⊥CD交CD的延長線于N，PF⊥AD于F，PE⊥BC于E．首先證明，PN=PF，PN=PE，推出PE=PF，推出∠PKE=∠PKF即可解決問題．
（3）如圖3中，連接CD，作DF⊥CM于F，PE⊥BC于E．只要證明△PDF是等腰直角三角形，求出PD即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OB．

∵弦BC垂直平分半徑OD，
∴BK=CK，BO=BD=OD，
∴AB=AC，△OBD是等邊三角形，
∴∠ACB=∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

（2）如圖2中，連接CD，作PN⊥CD交CD的延長線于N，PF⊥AD于F，PE⊥BC于E．

由（1）可知，∠BAC=∠ADB=60°，
∵∠BDC+∠BAC=180°，
∴∠BDC=120°，
∴∠BDN=∠BDA，
∴PN=PF，
∵$\widehat{BM}$=$\widehat{MD}$，
∴∠MCB=∠MCD，
∴PE=PN，
∴PE=PF，∵PF⊥AD于F，PE⊥BC于E，
∴∠PKE=∠PKF，∵∠BKD=90°，
∴∠BKP=45°，
∴sin∠BKP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如圖3中，連接CD，作DF⊥CM于F，PE⊥BC于E．

在Rt△PEK中，∵∠PKE=45°，PK=2$\sqrt{3}$，
∴EK=PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•PK=$\sqrt{6}$，
在Rt△BEK中，∵∠PBE=30°，PE=$\sqrt{6}$，
∴BE=$\sqrt{3}$PE=3$\sqrt{2}$，BP=2PE=2$\sqrt{6}$，
在Rt△BDK中，∵∠BDK=30°，BK=BE+EK=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴BD=BK÷cos30°=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$，
∴DP=BD-PB=2$\sqrt{2}$，
∵∠CPD=∠PBC+∠NCM=30°+15°=45°，
∴DF=DP•sin45°=2$\sqrt{2}$$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=2．

點評 本題考查圓綜合題、等邊三角形的判定和性質、垂徑定理、等腰直角三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、角平分線的判定定理以及性質定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練應用角平分線的判定定理以及性質定理，屬于中考壓軸題．