Question

5．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延長BC至D使CD=BC，連接AD．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）若E為線段CD的中點，且AD=4，點P為線段AC上一動點，連接EP，BP．
①求EP+$\frac{1}{2}$AP的最小值；
②求2BP+AP的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據線段的垂直平分線的性質定理，可得AD=AB，只要證明∠B=60°即可解決問題．
（2）①如圖1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF=30°，∠PFA=90°，推出PF=$\frac{1}{2}$PA，推出PE+$\frac{1}{2}$PA=PE+PF，所以當E、P、F共線時，即EF′⊥AB時，PE+PF最短，最小值為線段EF′，求出EF′即可解決問題．
②如圖2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF=30°，∠PFA=90°，推出PF=$\frac{1}{2}$PA，推出2BP+AP=2（PB+$\frac{1}{2}$PA）=2（PB+PF），所以當B、P、F共線時，即BF′⊥AD時，PB+PF最短，最小值為線段BF′，求出BF′即可解決問題．

解答 （1）證明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴AC⊥BD，∠B=60°
∵DC=CB，
∴AD=AB，∵∠B=60°，
∴△ABD是等邊三角形．

（2）①如圖1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．

∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$PA，
∴PE+$\frac{1}{2}$PA=PE+PF，
∴當E、P、F共線時，即EF′⊥AB時，PE+PF最短，最小值為線段EF′，
在Rt△EF′B中，∵∠B=60°，EB=3，
∴EF′=EB•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴EP+$\frac{1}{2}$AP的最小值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

②如圖2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．

∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$PA，
∴2BP+AP=2（PB+$\frac{1}{2}$PA）=2（PB+PF），
∴當B、P、F共線時，即BF′⊥AD時，PB+PF最短，最小值為線段BF′，
在Rt△DF′B中，∵∠D=60°，DB=4，
∴EF′=EB•sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴2BP+AP的最小值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、最短問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用垂線段最短解決最短問題，屬于中考壓軸題．