Question

20．如圖，?ABCD的頂點A、B的坐標分別是A（-1，0），B（0，-3），頂點C、D在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，邊AD交y軸于點E，且?ABCD的面積是△ABE面積的8倍，則k=36．

Answer 1

分析 分別過C、D作x軸的垂線，垂足為F、G，過C點作CH⊥DG，垂足為H，根據CD∥AB，CD=AB可證△CDH≌△ABO，則CH=AO=1，DH=OB=3，由此設C（m+1，n），D（m，n+3），C、D兩點在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，則（m+1）n=m（n+3），解得n=3m，設直線AD解析式為y=ax+b，將A、D兩點坐標代入求解析式，確定E點坐標，求S_△ABE，根據S_{四邊形ABCD}=8S_△ABE，列方程求m、n的值，根據k=（m+1）n求解．

解答 解：如圖，過C、D兩點作x軸的垂線，垂足為F、G，DG交BC于M點，過C點作CH⊥DG，垂足為H，
∵ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=3，設C（m+1，n），D（m，n+3），
則（m+1）n=m（n+3）=k，
解得n=3m，則D的坐標是（m，3m+3），
設直線AD解析式為y=ax+b，將A、D兩點坐標代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=0①}\\{ma+b=3m+3②}\end{array}\right.$，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=3m+3，
即b（m+1）=3（m+1），解得b=3，
則$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=3x+3，E（0，3），BE=6，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AO=3，
∵S_{四邊形ABCD}=8S_△ABE=24，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ABE+S_{四邊形BEDM}=24，
即6+6×m=24，
解得m=3，
∴n=3m=9，
∴k=（m+1）n=4×9=36．
故答案為：36．

點評 本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是通過作輔助線，將圖形分割，尋找全等三角形，利用邊的關系設雙曲線上點的坐標，根據面積關系，列方程求解．