Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是AB邊上的一點，以OB為半徑的⊙O與邊AC相切于點E，與AB和BC交于點D、H．連接EH、DE，延長DE，BC交于點F．
求證：DE=EH=EF．

Answer 1

分析 連接OE，BE．由△ODE∽△BDF，推出$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，推出DE=EF，再證明BE垂直平分DF，推出BD=BF，∠BDF=∠BFD，由四邊形BDEH是⊙O的內接四邊形，推出∠EHF=∠BDF，推出∠EHF=∠BFD，推出EH=EF，由此即可證明．

解答 解：連接OE，BE．

∵CA是⊙O的切線，
∴∠OEA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠DOE=∠DBF，∠DEO=∠DFB，
∴△ODE∽△BDF，
∴$\frac{DO}{DB}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=EF，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠DEB=90°，
∴BE垂直平分DF，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠BFD，
∵四邊形BDEH是⊙O的內接四邊形，
∴∠EHF=∠BDF，
∠EHF=∠BFD，
∴EH=EF，
∴DE=EH=EF．

點評 本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．也可以，連接DH，利用直角三角形斜邊中線的性質也可以證明