Question

13．如圖，正比例y=$\frac{1}{2}$x的圖象與y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸的垂線，垂足為M，已知△OAM的面積為1．如果B為及比例函數在第一象限圖象上的點（點B與點A不重合），且B點的橫坐標為1，P為x軸上一點，求使PA+PB的值最小時點P坐標．

Answer 1

分析 根據反比例函數圖象上的點的橫縱坐標的乘積為函數的系數和△OAM的面積為1可得k=2，即求得反比例函數的解析式．要使PA+PB最小，需作出A點關于x軸的對稱點C，連接BC，交x軸于點P，P為所求點．A點關于x軸的對稱點C（2，-1），而B為（1，2），故BC的解析式為y=-3x+5，當y=0時，x=$\frac{5}{3}$，即可得出答案．

解答 解：設A點的坐標為（a，b），則b=$\frac{k}{a}$，
∴ab=k，
∵$\frac{1}{2}$ab=1，
∴$\frac{1}{2}$k=1
∴k=2
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{2}{x}$，
根據題意畫出圖形，如圖所示：
聯立得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴A為（2，1），
設A點關于x軸的對稱點為C，則C點的坐標為（2，-1）．
∵點B的橫坐標為1，
∴B為（1，2），
設直線BC的解析式為y=mx+n
將B和C的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴BC的解析式為y=-3x+5，
當y=0時，x=$\frac{5}{3}$，
∴P點為（$\frac{5}{3}$，0）．

點評 此題考查了反比例函數和一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、軸對稱等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．有點難度．