Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝16，AD＝12，點E、F分別在邊CD、AB上．

（1）若DE＝BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）50

【解析】

（1）首先根據矩形的性質可得AB＝CD，AB∥CD，然后根據DE＝BF，可得AF＝CE，即可證明四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）根據四邊形AFCE是菱形，可得AE＝CE，然后設AE＝CE＝x，表示出DE的長度，根據勾股定理求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴AF∥CE，

∵CE＝CD﹣DE，AF＝AB﹣BF，DE＝BF，

∴AF＝CE，

∵AF∥CE，

∴四邊形AFCE是平行四邊形；

（2）∵四邊形AFCE是菱形，

∴AE＝CE＝CF＝AF，

∵AB＝CD，AB＝16，

∴CD＝16，

設AE＝CE＝x，則DE＝CD﹣CE＝16﹣x，

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠D＝90°，

∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2

又∵x＞0，AD＝12，

∴122+（16﹣x）2＝x2，

解得x＝12.5，

∴C菱形AFCE＝4×12.5＝50．

答：菱形AFCE的周長為50．