Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，且點是的平分線與拋物線的交點．

求拋物線的解析式及點的坐標；

點在平面直角坐標系內，且以點為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出滿足條件的點的坐標．

若點是直線上方拋物線上的一個動點，且點的橫坐標為請寫出的面積與之間的關系式，并求出為何值時，的面積有最大值，最大值為多少．

Answer 1

【答案】(1) ， ；(2) ；(3) 時，有最大值，最大值為

【解析】

（1）根據，可得，再利用待定系數法即可求得，再根據點是的平分線與拋物線的交點，可設，代入拋物線，即可求解．

（2）分以OB、OD為鄰邊的平行四邊形、以OB、BD為鄰邊的平行四邊形、以DB、OD為鄰邊的平行四邊形三種情況 ．

（3）作直線軸于點交于點，點坐標為，設直線的解析式，根據，可得直線解析式為，，即可求解．

把兩點代入拋物線

可得

得拋物線解析式為

點是的平分線與拋物線的交點，

設，代入拋物線

得(舍去，因為點第一象限)

（2）

連接BD

若是以OB、OD為鄰邊的平行四邊形

則

故只需把點D向右平移3個單位即得到點

由（1）知D(2,2)

∴

若是以OB、BD為鄰邊的平行四邊形

則

故只需把點D向左平移3個單位即得到點

∴

若是以DB、OD為鄰邊的平行四邊形

則OD∥

則只需把點D向下平移2個單位再向右平移1個單位即得到B，對應地只需把點O向下平移2個單位再向右平移1個單位即得到

∴

綜上所述，滿足條件的E點坐標為：．

作直線軸于點交于點

點坐標為

設直線的解析式.

解得：

可得直線解析式為

時，有最大值，最大值為