Question

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊三角形ACD、等邊三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連結DF.

①試說明AC＝EF；
②求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

見解析

本題考查的是全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定
①由△ABE是等邊三角形可得AB＝AE，∠BAE＝60°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，可得∠ABC＝60°
即可得到∠ABC＝∠BAE，再有EF⊥AB，，即可根據AAS證得△ACB≌△EFA，即得結果；
②由△ACD是等邊三角形可得AC＝AD，∠DAC＝60°，即可證得AD∥EF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證得結果。
①∵△ABE是等邊三角形，
∴AB＝AE，∠BAE＝60°.
在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAE.
∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝∠ACB＝90°，
∴△ACB≌△EFA(AAS)，
∴AC＝EF.
②∵△ACD是等邊三角形，
∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
又∵AD＝EF，∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA.
∴AD∥EF
∴四邊形ADFE是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)．