Question

【題目】如圖，△ABD是⊙O的內接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC=∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為6，BC=8，求弦BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，如圖所示：

∵E是弦BD的中點，

∴BE=DE，OE⊥BD， = ，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠BOE=∠DBC，

∴∠OBE+∠DBC=90°，

∴∠OBC=90°，

即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

∴OC= =10，

∵△OBC的面積= OCBE= OBBC，

∴BE= = =4.8，

∴BD=2BE=9.6，

即弦BD的長為9.6

【解析】（1）連接OB，由垂徑定理的推論得出BE=DE，OE⊥BD， = ，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長．