Question

【題目】如圖，y=ax2+bx－2的圖象過A（1，0），B（－2，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線關系式及頂點M的坐標；

（2）若N為線段BM上一點，過N作x軸的垂線，垂足為Q，當N在線段BM上運動（N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t的關系式并求出S的最大值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x－2 ，頂點M的坐標是（－，－）；（2）S與t間的函數關系式為S=－t2+t+3，當t=時，S的最大值為；（3）存在符合條件的點P，其坐標分別是：P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．

【解析】

（1）利用交點式得出拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+2），將C（0，-2）坐標代入求出a的值即可；

（2）利用待定系數法求出線段BM所在的直線的解析式，再利用S=S△AOC+S梯形OCNQ求出S與t間的函數關系式即可求出最值；

（3）利用①若∠APC=90°，則PC2+PA2=AC2，②若∠ACP=90°，則PC2+AC2=PA2，③若∠PAC=90°，則AC2+PA2=PC2，分別求出m的值即可得出P點坐標．

解：（1）∵二次函數y=ax2+bx－2的圖象經過點A（1，0）及B（－2，0）兩點．

∴設拋物線的解析式為y=a（x－1）（x+2），

將C（0，－2）坐標代入，－2=a（0－1）（0+2），

解得：a=1，

故y=x2+x－2=（x+）2－；

則其頂點M的坐標是（－，－）；

（2）設線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，

∴ 解得，，

∴線段BM所在的直線的解析式為y=－x－3，

∵－t=－x－3，

∴x=t－2，

點N的坐標為N（t－2，－t），

∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=×1×2+（2+t）|t－2|═－t2+t+3，

∴S與t間的函數關系式為S=－t2+t+3=－（t－）2+，

當t=時，S的最大值為；

（3）存在符合條件的點P， 其坐標分別是：

P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．

解答過程如下：

設點P的坐標為P（－，m），如圖，連接PA，PC，作CE⊥MP于E．

則AC2=12+22=5，

PA2=（－－1）2+m2，PC2=（）2+（m+2）2，

分以下三種情況討論：

①若∠APC=90°，則PC2+PA2=AC2，

即（－－1）2+m2+（）2+（m+2）2=5，

解得：m1=－，m2=－，

②若∠ACP=90°，則PC2+AC2=PA2，

即（）2+（m+2）2+5=（－－1）2+m2，

解得：m=－．

③若∠PAC=90°，則AC2+PA2=PC2，

即（－－1）2+m2+5=（）2+（m+2）2，

解得：m=，

綜上所述，存在滿足條件的點P，其坐標分別是：P1（－，－），P2（－，－），P3（－，－），P4（－，）．