Question

【題目】如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=AB，點F為CE的中點，點G在線段CD上，聯結DF，交AG于點M，交EG于點N，且∠DFC=∠EGC．

（1）求證：CG=DG；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）首先證明△ECG≌△DCF，則有CG=CF，因為CF=CE，則有CG=CD，則結論可證；

（2）延長AG、BC交于點H，首先證明△ADG≌△HCG，則有AG=HG，然后根據直角三角形斜邊中線有AG=HG=EG，進而得出∠CDF=∠DAH，進一步可證△ADG∽△DMG，則有，即，又因為CG=DG即可證明結論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，CE=AB，

∴AB=CD=EC．

又∵∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，

∴△ECG≌△DCF，

∴CG=CF．

∵點F為CE的中點，

∴CF=CE，

∴CG=CD，

即：CG=DG．

（2）延長AG、BC交于點H．

∵△ECG≌△DCF，

∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．

∴△ADG≌△HCG，

∴AG=HG．

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴AG=HG=EG．

∴∠CEG=∠H，

∴∠CDF=∠DAH．

又∵∠AGD=∠DGM，

∴△ADG∽△DMG．

∴，

∴

又∵CG=DG，

∴．