Question

【題目】如圖，A、B兩點在反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象上，AC⊥y軸于點C，BD⊥x軸于點D，點A的橫坐標為a，點B的橫坐標為b，且a＜b．

（1）若△AOC的面積為4，求k值；

（2）若a＝1，b＝k，當AO＝AB時，試說明△AOB是等邊三角形；

（3）若OA＝OB，證明：OC＝OD．

Answer 1

【答案】（1）8（2）△AOB是等邊三角形（3）見解析

【解析】

（1）由反比例函數系數k的幾何意義解答；

（2）根據全等三角形△ACO≌△BDO（SAS）的性質推知AO＝BO，結合已知條件AO＝AB得到：AO＝BO＝AB，故△AOB是等邊三角形；

（3）證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根據勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，結合已知條件OA＝OB，得到：AC2+OC2＝BD2+OD2，由坐標與圖形性質知：，整理得到： ，，易得，故OC＝OD．

解：（1）∵AC⊥y軸于點C，點A在反比例函數（k＞0，x＞0）的圖象上，且△AOC的面積為4，

∴|k|＝4，

∴k＝8；

（2）由a＝1，b＝k，可得A（1，k），B（k，1），

∴AC＝1，OC＝k，OD＝k，BD＝1，

∴AC＝BD，OC＝OD．

又∵AC⊥y軸于點C，BD⊥x軸于點D，

∴∠ACO＝∠BDO＝90°，

∴△ACO≌△BDO（SAS）．

∴AO＝BO．

又AO＝AB，

∴AO＝BO＝AB，

∴△AOB是等邊三角形；

（3）證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，根據勾股定理得：AO2＝AC2+OC2，BO2＝BD2+OD2，

∵OA＝OB，

∴AC2+OC2＝BD2+OD2，

即有：，

∴，，

因為0＜a＜b，所以a2﹣b2≠0，

∴，

∴，負值舍去，得：，

∴，

∴OC＝OD．