Question

15．如圖1所示，△ABC中，AB=AC，點D在△ABC的外部，且∠ABD是銳角，點E在射線AC的左側(cè)，且∠ACE與∠ABD互補，BD=CE，DE與BC相交于點F．
（1）求證：DF=FE；
（2）若將“點D與△ABC的外部，點E在射線AC的左側(cè)，BD=CE”改為D在△ABC的內(nèi)部，點E在射線AC的右側(cè)，BD=kCE，其他條件不變（如圖2），猜想DF與FE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點E作EG∥BD交BC于點G，根據(jù)互補和三角形內(nèi)角和得出∠CGE=∠BCE，再利用AAS證明△BDF與△GEF全等即可證明．
（2）結(jié)論：DF=k•EF，如圖2中，作EG∥BD交BC的延長線于G．首先證明EC=EG，再證明△BDF∽△GEF，得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BD}{EG}$=$\frac{BD}{EC}$=k，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，過點E作EG∥BD交BC于點G，

∴∠BGE=∠DBC=∠ABD+∠ABC，
∴∠CGE+∠BGE=∠CGE+∠ABD+∠ABC=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACE與∠ABD互補，
∴∠ACE+∠ABD=∠ACB+∠BCE+∠ABD=∠ABC+∠BCE+∠ABD=180°，
∴∠CGE=∠BCE，
∴EG=EC，
∵BD=EC，
∴BD=EG，
在△BDF與△GEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠GFE}\\{∠DBC=∠BGE}\\{BD=EG}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△GEF（AAS），
∴DF=FE．

（2）解：結(jié)論：DF=k•EF，理由如下，
如圖2中，作EG∥BD交BC的延長線于G．

∵∠ACE+∠ABD=180°，
∴∠ACG+∠GCE+∠ABC-∠DBC=180°，
∵∠DBC=∠G，∠ABC=∠ACB，∠ACB+∠ACG=180°，
∴180°+∠GCE-∠G=180°，
∴∠G=∠GCE，
∴EG=EC，
∵BD∥EG，
∴△BDF∽△GEF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{BD}{EG}$=$\frac{BD}{EC}$=k，
∴DF=k•EF．

點評 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考常考題型．