Question

5．探究：換元法是重要的數學思想方法，用換元法可解決許多數學問題，請看例題：
解方程：x⁴-2x²-3=0．
解：設x²=y，則原方程化為y²-2y-3=0．
解關于y的一元二次方程，得y₁=-1，y₂=3．
當y=-1時，即x²=-1，此時方程無實數根；
當y=3時，即x²=3解得x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．
所以原方程的根是x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．
請你用換元法解下列方程：
（1）$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$+6=0；
（2）（x²-2）-2（x²-2）-8=0．

Answer 1

分析 （1）根據題意設$\frac{1}{x}=a$，即可解答此方程；
（2）根據題意設x²-2=8，即可解答此方程．

解答 解：（1）$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{5}{x}$+6=0
設$\frac{1}{x}=a$，
則a²-5a+6=0
解得，a₁=2，a₂=3，
∴$\frac{1}{x}=2$或$\frac{1}{x}=3$，
解得，${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{1}{3}$，
經檢驗${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{1}{3}$是原分式方程的解；
（2）（x²-2）-2（x²-2）-8=0，
設x²-2=a，
則a-2a-8=0，
解得，a=-8，
∴x²-2=8，
解得，${x}_{1}=\sqrt{10}，{x}_{2}=-\sqrt{10}$．

點評 本題考查換元法解一元二次方程，解題的關鍵是明確換元法解一元二次方程的方法．