Question

7．如圖所示，在△ABC中，AD、BE都是中線，MN平分BE且與AD平行，又知AD、BE、MN將△ABC分成六部分，面積依次是a、b、c、d、e、18，試求a、b、c、d、e的值．

Answer 1

分析 先利用三角形重心的性質得到AG=2GD，BG=2GE，再利用MN平分BE得到BH：HG：GE=3：1：2，接著證明△BMH∽△BDG，△BHN∽△BGA得到$\frac{HN}{AG}$=$\frac{BH}{BG}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{BH}{BG}$=$\frac{MH}{DG}$=$\frac{3}{4}$，則NH=2HM，于是利用等高的三角形面積的比等于底邊的比可計算出a=9，再根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可計算出b=7，e=14，然后利用等高的三角形面積的等于底邊的比計算出d和c的值．

解答 解：∵AD、BE都是中線，
∴點G為△ABC的重心，
∴AG=2GD，BG=2GE，
∵MN平分BE，
∴BH：HG：GE=3：1：2，
∵MN∥AD，
∴△BMH∽△BDG，△BHN∽△BGA，
∴$\frac{HN}{AG}$=$\frac{BH}{BG}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{BH}{BG}$=$\frac{MH}{DG}$=$\frac{3}{4}$，
而AG=2GD，
∴NH=2HM，
∴a=$\frac{1}{2}$×18=9，
∵MN∥AD，
∴$\frac{a}{a+b}$=（$\frac{3}{4}$）²，即$\frac{9}{9+b}$=$\frac{9}{16}$，解得b=7，
$\frac{18}{18+e}$=（$\frac{3}{4}$）²，解得e=14，
∵BG=GE，
∴18+e=2d，即18+14=2d，解得d=16，
∵BD=CD，
∴18+e+a+b=d+c，
即18+14+9+7=16+c，解得c=32．
答：a、b、c、d、e的值分別為9，7，32，16，14．

點評 本題考查了面積及等積變換：同高或等高的三角形面積的比等于底邊的比．熟練掌握相似三角形的判定與性質和三角形重心的性質，特別是相似三角形面積的比等于相似比的平方．