Question

【題目】如圖，已知頂點(diǎn)為C（0，﹣3）的拋物線D1：y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線L：y＝x+m過(guò)頂點(diǎn)C和點(diǎn)B．

（1）求拋物線D1：y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（2）點(diǎn)D（0，），在x軸上任取一點(diǎn)Q（x，0），連接DQ，作線段DQ的垂直平分線l1，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，記l2，l2與l1的交點(diǎn)為P（x，y），在x軸上多次改變點(diǎn)Q的位置，相應(yīng)的點(diǎn)P也在坐標(biāo)系中形成了曲線路徑D2，寫(xiě)出點(diǎn)P（x，y）的路徑D2所滿足的關(guān)系式（即x，y所滿足的關(guān)系式），能否通過(guò)平移、軸對(duì)稱或旋轉(zhuǎn)變換，由拋物線D1得到曲線D2？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）拋物線D1上是否存在點(diǎn)M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣3；（2）可將拋物線D1向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線D2；理由見(jiàn)解析；（3）M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線D1的解析式；

（2）如圖1，連接PD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PD=PQ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出y與x的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得答案；

（3）如圖2，根據(jù)點(diǎn)B、C坐標(biāo)可得△OBC是等腰直角三角形，可得∠OCB＝45°，分點(diǎn)M在點(diǎn)B上方和下方兩種情況，分別求出CE、CF的解析式，并與拋物線D1聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

（1）∵點(diǎn)C（0，-3）和點(diǎn)B在直線L上，

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m=-3；

∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣m=3，

∴B（3，0），

∵拋物線D1：y＝ax2+b的頂點(diǎn)為C（0，﹣3），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，

∴，

解得：，

∴拋物線D1：y＝ax2+b的解析式為y＝x2﹣3.

（2）如圖1，連接PD，

∵l1是線段DQ的垂直平分線

∴PD＝PQ，

∵P（x，y），D（0，），Q（x，0），

∴x2+（y﹣）2＝y2，

整理，得y＝x2+，

∴路徑D2所滿足的關(guān)系式為y＝x2+，

∵﹣（﹣3）＝，

∴可將拋物線D1向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線D2.

（3）∵C（0，﹣3），B（3，0），

∴OB＝OC，

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=∠OBC＝45°，

①如圖2，若點(diǎn)M在點(diǎn)B上方，設(shè)MC交x軸于點(diǎn)E，則∠OEC＝45°+15°＝60°，

∵∠MCB=15°，

∴∠OCE=∠OBC-∠MCB=30°，

∴CE=2OE，

∴OE2+OC2=CE2=(2OE)2，即OE2+9=4OE2，

∴OE＝（負(fù)值舍去），

∴點(diǎn)E（，0），

設(shè)直線CE解析式為y＝kx﹣3，

∴k-3=0，

解得：k＝，

∴yCE＝x﹣3，

聯(lián)立，得，

解得，或，

∴M1（3，6）；

②如圖2，若點(diǎn)M在點(diǎn)B下方，設(shè)MC交x軸于點(diǎn)F，

∴∠OFC＝∠OBC-∠MCB=45°﹣15°＝30°，

∴CF=2OC=6，

∴OF＝＝3，

∴點(diǎn)F（3，0），

設(shè)直線CF解析式為y＝kx﹣3，

∴3k-3=0，

解得：k＝，

∴yCF＝x﹣3，

聯(lián)立，得，

解得，或，

∴M2（，﹣2），

綜上所述，M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．