Question

6．閱讀與計算，請閱讀以下材料，并完成相應的問題．
角平分線分線段成比例定理，如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，則$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$．下面是這個定理的部分證明過程．
證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E．…
任務：
（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，則△ABD的周長是$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，利用平行線分線段成比例定理得到$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BA}{EA}$，利用平行線的性質得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（2）先利用勾股定理計算出AC=5，再利用（1）中的結論得到$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{5}{3}$=$\frac{CD}{BD}$，則可計算出BD=$\frac{3}{2}$，然后利用勾股定理計算出AD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，從而可得到△ABD的周長．

解答 （1）證明：如圖2，過C作CE∥DA．交BA的延長線于E，
∵CE∥AD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BA}{EA}$，∠2=∠ACE，∠1=∠E，
∵∠1=∠2，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（2）解：如圖3，∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5，
∵AD平分∠BAC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{BD}$，即$\frac{5}{3}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴BD=$\frac{3}{8}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴AD=$\sqrt{B{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△ABD的周長=$\frac{3}{2}$+3+$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．
故答案為$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．