Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過等腰Rt△OAB的A，B兩點，點B在點A的右側，直角頂點A（0，3）．

（1）求b，c的值．

（2）P是AB上方拋物線上的一點，作PQ⊥AB交OB于點Q，連接AP，是否存在點P，使四邊形APQO是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當P（2，5）時，四邊形APQO是平行四邊形

【解析】

（1）根據題意得到點B的坐標，把A，B的坐標代入二次函數解析式，列出關于系數b、c的方程組，通過解方程組可以求得它們的值；
（2）由條件可知OA∥PQ，則PQ=3時，OAPQ為平行四邊形，設P（m，-m2+3m+3），Q（m，m），可得關于m的方程，求出m的值即可求解．

解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，

∴AB＝3＝OA，

∴B（3，3），

將點A、B的坐標代入y＝﹣x2+bx+c得：

，

∴，

（2）存在，

∵B（3，3），

∴OB的解析式為y＝x，

∵y＝﹣x2+3x+3，

設P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），

∵PQ⊥AB，OA⊥AB，

∴OA∥PQ，

若四邊形APQO是平行四邊形，

∴PQ＝﹣m2+3m+3﹣m＝3，

解得m＝0（舍去），m＝2，

當m＝2時，y＝﹣4+6+3＝5，

∴p（2，5），

即當P（2，5）時，四邊形APQO是平行四邊形．

故答案為：（1）；（2）當P（2，5）時，四邊形APQO是平行四邊形．