Question

【題目】在直角坐標系中，我們不妨將橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”。

（1）求函數y=x+2的圖像上所有“中國結”的坐標；

（2）求函數y=（k≠0，k為常數）的圖像上有且只有兩個“中國結”，試求出常數k的值與相應“中國結”的坐標；

（3）若二次函數y=（k為常數）的圖像與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，試問該函數的圖像與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”？

Answer 1

【答案】（1）（0,2）；（2）當k=1時，對應“中國結”為（1,1）（－1，－1）；當k=－1時，對應“中國結”為（1，－1），（－1,1）；（3）6個.

【解析】

試題（1）因為x是整數，x≠0時，x是一個無理數，所以x≠0時，x+2不是整數，所以x=0，y=2，據此求出函數y=x+2的圖象上所有“中國結”的坐標即可．

（2）首先判斷出當k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判斷出當k≠1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上最少有4個“中國結”，據此求出常數k的值與相應“中國結”的坐標即可．

（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根據x1、x2的值是整數，求出k的值是多少；最后根據橫坐標，縱坐標均為整數的點稱之為“中國結”，判斷出該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有多少個“中國結”即可．

試題解析：（1）∵x是整數，x≠0時，x是一個無理數，

∴x≠0時，x+2不是整數，

∴x=0，y=2，

即函數y=x+2的圖象上“中國結”的坐標是（0，2）．

（2）①當k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：

（1，1）、（﹣1、﹣1）；

②當k=﹣1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：

（1，﹣1）、（﹣1，1）．

③當k≠±1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上最少有4個“中國結”：

（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），這與函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”矛盾，

綜上可得，k=1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；

k=﹣1時，函數y=（k≠0，k為常數）的圖象上有且只有兩個“中國結”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，

則[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，

∴

∴，

整理，可得

x1x2+2x2+1=0，

∴x2（x1+2）=﹣1，

∵x1、x2都是整數，

∴或

∴或

①當時，

∵，

∴k=；

②當時，

∵，

∴k=k﹣1，無解；

綜上，可得

k=，x1=﹣3，x2=1，

y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k

=[()2﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣

=﹣x2﹣x+

①當x=﹣2時，

y=﹣x2﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+

=

②當x=﹣1時，

y=﹣x2﹣x+

=﹣×（﹣1）2﹣×（﹣1）+

=1

③當x=0時，y=，

另外，該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中x軸上的“中國結”有3個：

（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．

綜上，可得

若二次函數y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k為常數）的圖象與x軸相交得到兩個不同的“中國結”，

該函數的圖象與x軸所圍成的平面圖形中（含邊界），一共包含有6個“中國結”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．