Question

【題目】已知如圖：分別以△ABC的各邊為邊，在BC邊的同側作等邊三角形ABE、等邊三角形CBD和等邊三角形ACF，連結DE，DF．

（1）試說明四邊形DEAF為平行四邊形．

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形DEAF為矩形？并說明理由；

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形DEAF為菱形．直接寫出答案　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BAC＝150°時，見解析；（3），見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，則∠ABC＝∠EBD，于是可利用“SAS”判斷△ABC≌△EBD，得到AC＝DE，再由△ACF為等邊三角形得AC＝AF，則AF＝DE，同理可證△ACB≌△FCD得到AB＝DF，則AE＝DF，然后根據平行四邊形的判定方法即可得到結論；

（2）由于四邊形DEAF是平行四邊形，當∠EAF＝90°時，四邊形DEAF為矩形，根據等邊三角形角的大小，可得∠BAC＝150°；

（3）由于四邊形DEAF是平行四邊形，根據菱形的判定方法，當AE＝AF時，四邊形DEAF是菱形，此時AB＝AC．

解：（1）如圖1，∵△ABE和△CBD為等邊三角形，

∴∠ABE＝∠CBD＝60°，AB＝BE＝AE，CB＝BD＝CD，

∴∠ABC＝∠EBD，

在△ABC和△EBD中，

，

∴△ABC≌△EBD（SAS），

∴AC＝DE，

∵△ACF為等邊三角形，

∴AC＝AF，

∴AF＝DE，

同理可證得△ACB≌△FCD，

∴AB＝DF，

而AB＝AE，

∴AE＝DF，

∴四邊形DEAF是平行四邊形；

（2）如圖2，當△ABC滿足∠BAC＝150°時，四邊形DEAF是矩形．

理由如下：

由（1）知：四邊形DEAF是平行四邊形，

∵∠BAC＝150°，∠EAB＝∠FAC＝60°

∴∠EAF＝360°﹣150°﹣60°﹣60°＝90°

∴四邊形DEAF是矩形；

（3）如圖3，△ABC滿足AB＝AC時，四邊形DEAF是菱形．

理由如下：

由（1）知：四邊形DEAF是平行四邊形，

∵AB＝AC，AE＝AB，AC＝AF，

∴AE＝AF，

∴四邊形DEAF是菱形．

故答案為：AB＝AC．